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学案17 任意角的三角函数         
学案17 任意角的三角函数
作者:数学组 文章来源:本站原创 点击数:1287 更新时间:2014-12-26 11:09:41

第四章 三角函数与三角恒等变换  

学案17 任意角的三角函数  

导学目标: 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.  

  

自主梳理  

1.任意角的概念  

角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形.旋转开始时的射线OA叫做角的________,射线的端点O叫做角的________,旋转终止位置的射线OB叫做角的________,按______时针方向旋转所形成的角叫做正角,按______时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个________角.  

(1)象限角  

使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就说这个角是__________角.  

(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)  

终边在x轴上的角表示为____________________  

终边在y轴上的角表示为__________________________________________  

终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________  

(3)终边相同的角  

所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________________________________________________,前者α用角度制表示,后者α用弧度制表示.  

(4)弧度制  

把长度等于________长的弧所对的__________1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做________,它的单位符号是________,读作________,通常略去不写.  

(5)度与弧度的换算关系  

360°______ rad180°____ rad________ rad  

1 rad_______________57.30°.  

(6)弧长公式与扇形面积公式  

l________,即弧长等于_________________________________________________  

S____________________.  

2.三角函数的定义  

任意角的三角函数定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(xy),那么____叫做α的正弦,记作sin α,即sin αy____叫做α的余弦,记作cos α,即cos αx________叫做α的正切,记作tan α,即tan αx(y) (x0)  

(1)三角函数值的符号  

各象限的三角函数值的符号如下图所示,三角函数正值歌:一全正,二正弦,三正切,四余弦.  

  

(2)三角函数线  

下图中有向线段MPOMAT分别表示________________________________________  

  

  

自我检测  

1α6(π)cos 2α2(1)                                           (    )  

A.充分而不必要条件  

B.必要而不充分条件  

C.充分必要条件  

D.既不充分也不必要条件  

2.(2011·济宁模拟)P(tan 2 009°cos 2 009°)位于                            (    )  

A.第一象限                         B.第二象限  

C.第三象限                         D.第四象限  

3(2010·山东青岛高三教学质量检测)已知sin α<0tan α>0,则角α       (    )  

A.第一象限角                       B.第二象限角  

C.第三象限角                       D.第四象限角  

4.已知角α的终边上一点的坐标为3(),则角α的最小正值为     (  )  

A.6()            B.3()              C.3()             D.6(11π)  

  

探究点一 角的概念  

1 (1)如果角α是第三象限角,那么-απαπα角的终边落在第几象限;  

(2)写出终边落在直线yx上的角的集合;  

(3)θ168°k·360° (kZ),求在[0°360°)内终边与3(θ)角的终边相同的角.  

   

   

   

   

变式迁移1 若α是第二象限的角,试分别确定2α2(α)的终边所在位置.  

   

   

   

   

探究点二 弧长与扇形面积  

2 (2011·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α0<α<2π,其所在圆的半径是R.  

(1)α60°R10 cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积;  

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?  

   

   

   

   

变式迁移2 (1)已知扇形的周长为10,面积为4,求扇形中心角的弧度数;  

(2)已知扇形的周长为40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?  

   

   

   

   

探究点三 三角函数的定义  

3 已知角α的终边在直线3x4y0上,求sin αcos αtan α的值.  

   

   

   

   

变式迁移3 已知角α的终边经过点P(4a,3a) (a0),求sin αcos αtan α的值.  

   

   

   

   

  

1角的度量由原来的角度制改换为弧度制,要养成用弧度表示角的习惯.象限角的判断,终边相同的角的表示,弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础.  

2.三角函数都是以角为自变量(用弧度表示),以比值为函数值的函数,是从实数集到实数集的映射,注意两种定义法,即坐标法和单位圆法.   

  

(满分:75)  

一、选择题(每小题5分,共25)  

1(2011·宣城模拟)P(1,0)出发,沿单位圆x2y21逆时针方向运动3()弧长到达Q,则Q的坐标为                                                             (    )  

A(2(1)2(3))                       B(2(3),-2(1))  

C(2(1),-2(3))                     D(2(3)2(1))  

2.若0<x,则使sin x>2(1)cos x<2(1)同时成立的x的取值范围是               (  )  

A.3(π)<x<2(π)                            B.3(π)<x<6(5)π  

C.6(π)<x<6(5)π                           D.3(π)<x<3(2)π  

3.已知α为第三象限的角,则2(α)所在的象限是                               (  )  

A.第一或第二象限                  B.第二或第三象限  

C.第一或第三象限                  D.第二或第四象限  

4.若1弧度的圆心角所对弦长等于2,则这个圆心角所对的弧长等于           (  )  

Asin 2(1)                            B.6(π)  

C.2(1)                              D2sin 2(1)  

5.已知θ2(π)sin θcos θa,其中a(0,1),则关于tan θ的值,以下四个答案中,可能正确的是                                                        (  )  

A.-                            B33(1)  

C.-3(1)                             D.-3或-3(1)  

题号  

1  

2  

3  

4  

5  

答案  

   

   

   

   

   

二、填空题(每小题4分,共12)  

6.已知点P(sin αcos αtan α)在第一象限,且α[0,2π],则α的取值范围是________________  

7(2011·龙岩模拟)已知点P4()落在角θ的终边上,且θ[0,2π),则θ的值为________  

8.阅读下列命题:  

若点P(a,2a) (a0)为角α终边上一点,则sin α5(5)  

同时满足sin α2(1)cos α2(3)的角有且只有一个;  

tan α2(1)π<α<2(),则sin α=-5(5)  

cos(sin θ)·tan(cos θ)>0 (θ为象限角),则θ在第一象限.其中正确命题为________(将正确命题的序号填在横线上)  

三、解答题(38)  

9(12)已知扇形OAB的圆心角α120°,半径长为6  

(1)的弧长;  

(2)求弓形OAB的面积.  

   

   

   

   

10(12)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:  

(1)sin α2(3)  

(2)cos α2(1).  

   

   

   

   

11(14)(2011·舟山月考)已知角α终边经过点P(x,-) (x0),且cos α6(3)x.sin αtan α(1)的值.  

   

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