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函数y=Asin(ωx+φ)的图象及         
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及
作者:数学组 文章来源:本站原创 点击数:1799 更新时间:2014-12-26 11:12:20

导学目标: 1.了解函数yAsin(ωxφ)的物理意义;能画出yAsin(ωxφ)的图象,了解参数Aωφ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.  

  

自主梳理  

1.用五点法画yAsin(ωxφ)一个周期内的简图  

用五点法画yAsin(ωxφ)一个周期内的简图时,要找五个特征点.如下表所示.  

   

X  

   

   

   

   

   

Ωxφ  

   

   

   

   

   

y  

Asin(ωxφ)  

0  

A  

0  

A  

0  

   

2.图象变换:函数yAsin(ωxφ) (A>0ω>0)的图象可由函数ysin x的图象作如下变换得到:  

1)相位变换:ysin xysin(xφ),把ysin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位.  

(2)周期变换:ysin (xφ)ysin(ωxφ),把ysin(xφ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)____(ω>1)到原来的________(纵坐标不变)  

3)振幅变换:ysin (ωxφ)yAsin(ωxφ),把ysin(ωxφ)图象上各点的纵坐标______(A>1)______(0<A<1)到原来的____(横坐标不变).   

3.当函数yAsin(ωxφ) (A>0ω>0)x(,+)表示一个振动量时,则____叫做振幅,T________叫做周期,f______叫做频率,________叫做相位,____叫做初相.  

函数yAcos(ωxφ)的最小正周期为____________yAtan(ωxφ)的最小正周期为________  

自我检测  

1(2011·池州月考)要得到函数ysin4(π)的图象,可以把函数ysin 2x的图象(  )  

A.向左平移8(π)个单位  

B.向右平移8(π)个单位  

C.向左平移4(π)个单位  

D.向右平移4(π)个单位  

2.已知函数f(x)sin4(π) (xRω>0)的最小正周期为π.yf(x)的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是                          (  )  

A.2(π) B.8() C.4(π) D.8(π)  

3.已知函数f(x)sin(ωx4(π))(xRω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)cos ωx的图象,只要将yf(x)的图象                                                 (  )  

A.向左平移8(π)个单位长度  

B.向右平移8(π)个单位长度  

C.向左平移4(π)个单位长度  

D.向右平移4(π)个单位长度  

4(2011·太原高三调研)函数ysin3(π)的一条对称轴方程是                (  )  

Ax6(π) Bx3(π)  

Cx12(π) Dx12()  

5(2011·六安月考)若动直线xa与函数f(x)sin xg(x)cos x的图象分别交于MN两点,则|MN|的最大值为                                                     (  )  

A1    B.      C.   D2  

  

探究点一 三角函数的图象及变换  

1 已知函数y2sin3(π).  

(1)求它的振幅、周期、初相;(2)五点法作出它在一个周期内的图象;(3)说明y2sin3(π)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到.  

   

   

   

   

变式迁移1 设f(x)2(1)cos2xsin xcos x2(3)sin2x (xR)  

(1)画出f(x)2(π)上的图象;  

(2)求函数的单调增减区间;  

(3)如何由ysin x的图象变换得到f(x)的图象?  

   

   

   

   

探究点二 求yAsin(ωxφ)的解析式  

2 已知函数f(x)Asin(ωxφ) (A>0ω>0|φ|<2(π)xR)的图象的一部分如图所示.求函数f(x)的解析式.  

  

   

   

   

   

   

变式迁移2 (2011·宁波模拟)已知函数f(x)Asin(ωxφ) (A>0ω>0|φ|<2(π))的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)(x0,-2)  

  

(1)f(x)的解析式及x0的值;  

(2)若锐角θ满足cos θ3(1),求f(4θ)的值.  

   

   

   

   

探究点三 三角函数模型的简单应用  

3 已知海湾内海浪的高度y()是时间t(0t24,单位:小时)的函数,记作yf(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:  

t  

0  

3  

6  

9  

12  

15  

18  

21  

24  

y  

1.5  

1.0  

0.5  

1.0  

1.5  

1.0  

0.5  

0.99  

1.5  

经长期观测,yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos ωtb.(1)根据以上数据,求函数yAcos ωtb的最小正周期T,振幅A及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午800至晚上2000之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?  

   

   

   

   

变式迁移3 交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)的关系可用E220sin6(π)表示,求:  

(1)开始时的电压;(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间.  

   

   

   

   

  

数形结合思想的应用  

 (12)设关于θ的方程cos θsin θa0在区间(0,2π)内有相异的两个实根αβ.  

(1)求实数a的取值范围;  

(2)αβ的值.  

【答题模板】  

解 (1)原方程可化为sin(θ3(π))=-2(a)  

作出函数ysin(x3(π))(x(0,2π))的图象.  

[3]  

由图知,方程在(0,2π)内有相异实根αβ的充要条件是3().  

即-2<a<或-<a<2.[6]  

(2)由图知:当-<a<2,即-2(a)(12(3))时,直线y=-2(a)与三角函数ysin(x3(π))的图象交于CD两点,它们中点的横坐标为6(7)π2(α+β)6()  

αβ3().[8]  

当-2<a<,即-2(a)(2(3)1)时,直线y=-2(a)与三角函数ysin(x3(π))的图象有两交点AB  

由对称性知,2(α+β)6(π)αβ3(π).[11]  

综上所述,αβ3(π)αβ3(7)π. [12]  

【突破思维障碍】  

在解决三角函数的有关问题时,若把三角函数的性质融于函数的图象之中,将数()与图形结合起来进行分析、研究,可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来,这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略.  

图象的应用主要有以下几个方面:比较大小;求单调区间;解不等式;确定方程根的个数.如判断方程sin xx的实根个数;对称问题等.  

【易错点剖析】  

此题若不用数形结合法,用三角函数有界性求a的范围,不仅过程繁琐,而且很容易漏掉a的限制,而从图象中可以清楚地看出当a=-时,方程只有一解.  

  

1整体换元的思想认识、理解、运用五点法作图,尤其在求yAsin(ωxφ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数ysin x的作用.  

2.三角函数自身综合问题:要以课本为主,充分掌握公式之间的内在联系,从函数名称、角度、式子结构等方面观察,寻找联系,结合单位圆或函数图象等分析解决问题.  

3.三角函数模型应用的解题步骤:  

(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.  

(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.  

(3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.  

  

(满分:75)  

一、选择题(每小题5分,共25)  

1.将函数ysin3(π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移3(π)个单位,得到的图象对应的解析式是                        (  )  

Aysin 2(1)x Bysin2(π)  

Cysin6(π) Dysin6(π)  

2(2011·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是             (  )  

  

Aysin6(π)  

Bysin6(π)  

Cycos3(π)  

Dycos6(π)  

3.为得到函数ycos3(π)的图象,只需将函数ysin 2x的图象             (  )  

A.向左平移12()个单位长度  

B.向右平移12()个单位长度  

C.向左平移6()个单位长度  

D.向右平移6()个单位长度  

4(2009·辽宁)已知函数f(x)Acos(ωxφ)(A>0ω>0)的图象如图所示,f(2(π))=-3(2),则f(0)等于                                                                      (  )  

  

A.-3(2) B.-2(1)  

C.3(2) D.2(1)  

5(2011·烟台月考)若函数yAsin(ωxφ)m(A>0ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2(π),直线x3(π)是其图象的一条对称轴,则它的解析式是                (  )  

Ay4sin6(π) By2sin3(π)2  

Cy2sin3(π)2 Dy2sin6(π)2  

题号  

1  

2  

3  

4  

5  

答案  

   

   

   

   

   

二、填空题(每小题4分,共12)  

6.已知函数ysin(ωxφ) (ω>0,-πφ<π)的图象如图所示,则φ________.  

  

7(2010·潍坊五校联考)函数f(x)cos 2x的图象向左平移4(π)个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)______.  

8(2010·福建)已知函数f(x)3sin6(π) (ω>0)g(x)2cos(2xφ)1的图象的对称轴完全相同.若x2(π),则f(x)的取值范围是____________  

三、解答题(38)  

9(12)已知函数f(x)Asin(ωxφ)(A>0ω>0|φ|<2(π)xR)的图象的一部分如下图所示.  

  

(1)求函数f(x)的解析式;  

(2)x[6,-3(2)]时,求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值.  

   

   

   

   

10(12)已知函数f(x)Asin(ωxφ) (A>00<ω20φπ)R上的偶函数,其图象过点M(0,2).又f(x)的图象关于点N,0()对称且在区间[0π]上是减函数,求f(x)的解析式.  

   

   

   

   

11(14)(2010·山东)已知函数f(x)sin(πωx)·cos ωxcos2ωx (ω>0)的最小正周期为π  

(1)ω的值;  

(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2(1),纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,求函数yg(x)在区间16(π)上的最小值.  

   

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